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可分离的微分方程、齐次微分方程、齐次一阶线性微分方程、非齐次一阶线性微分方程。

可分离的微分方程：

齐次微分方程：

齐次一阶线性微分方程：

齐次一阶线性微分方程：

直角坐标系下二重积分与极坐标下的二重积分，直角坐标系下二重积分分两种：一种是是X型。一种是Y型。

X型：设积分区域D：a≤x≤b，φ1(x)≤y≤φ2(x)，如图所示，φ1(x)，φ2(x)在区间[a, b]上连续。

Y型：设积分区域D：c≤y≤d，ϕ1(y)≤y≤ϕ2(y)，如图所示，ϕ1(x)，ϕ2(x)在区间[c, d]上连续。

极坐标下的二重积分：由极坐标变换，设x=rcosθ，y=rsinθ，若积分区域D，则：

①如果积分区域D关于x轴对称，则

其中D1为D的上半平面的部分。

②如果积分区域D关于y轴对称，则

其中D2为D载右半平面的部分

③如果积分区域D关于y=x对称，则

④如果积分区域D1，D2关于直线y=x对称，则

⑤如果积分区域D关于直线y=x对称，则

二元函数f(x,y)极值存在的必要条件：设函数f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在，且在点(x0,y0)处取得极值，则f'x(x0,y0)=0, f'y(x0,y0)=0。

二元函数极值的求解方法：先f(x,y)对x，y分别求出偏导并令他们等于0

（1）AC-B2＞0时，极值存在，且当A＜0时有极大值，当A＞0时有极小值。

（2）AC-B2＜0时，极值不存在。

用拉格朗日法：

首先，构造拉格朗日函数F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，

性质1 f(x)在区间[a, b]上可积的必要条件是f(x)在区间[a, b]上有界。

性质2 f(x)可积的充分条件有如下三个：

（i）若f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上可积

（ii）若f(x)在区间[a, b]上有界，除有限个间断点外函数连续，则f(x)在[a, b]上可积

（iii）若f(x)在区间[a, b]上单调，则f(x)在[a, b]上可积。

费马定理：设函数y=f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，且在x0处可导，若对任一x∈U(x0)，有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0)，则f’(x0)=0。

罗尔定理：设函数y=f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f’(ξ)=0。

拉格朗日中值定理：设函数y=f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。

柯西中值定理：设函数f(x)，g(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且对任一x∈（a，b），g’(x)≠0，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得。

零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C (a<ξ<b)。

泰勒定理：设函数y=f(x)在闭区间[a，b]上有连续的n阶倒数，在开区间（a，b）内有n+1阶倒数，则对任一x∈（a，b），有

第一种判定方法：设函数y=f(x)在x0处连续，且在x0的某去心领域U（x0，δ）内可导

（1）若当x∈（x0-δ，x0）时，f’(x)>0，而当x∈（x0，x0+δ）时，f’(x)<0，则f(x)在x0处取得极大值.

（2）若当x∈（x0-δ，x0）时，f’(x)<0，而当x∈（x0，x0+δ）时，f’(x)>0，则f(x)在x0处取得极小值.

（3）若当x∈U（x0，δ）时，f’(x)符号保持不变，则f(x)在x0处无极值.

第二种判定方法：设函数y=f(x)在x0处有二阶导数且f’(x0)=0，f”(x)≠0，则

（1）当f”(x)<0时，函数y=f(x)在x0处取得极大值

（2）当f”(x)>0时，函数y=f(x)在x0处取得极小值

设函数y=f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内有一阶和二阶导数，则

（1）若在（a，b）内f”(x)>0，则函数y=f(x)在[a，b]上的图形是凹的

（2）若在（a，b）内f”(x)<0，则函数y=f(x)在[a，b]上的图形是凸的

常见的初等函数的n阶导数公式：